Các phép toán số học cơ bản là cộng, trừ, nhân và chia, mặc dù chủ đề này cũng bao gồm các phép toán nâng cao hơn, chẳng hạn như các phép toán về tỷ lệ phần trăm,[11] căn bậc hai, lũy thừa, hàm logarit và thậm chí cả hàm lượng giác, giống như logarit. Biểu thức số học phải được đánh giá theo trình tự các phép toán đã xác định. Có nhiều phương pháp để xác định việc này, hoặc sử dụng các ký hiệu bao gồm, như sử dụng dấu ngoặc đơn và dựa trên nguyên tắc ưu tiên, hoặc sử dụng một ký hiệu tiền tố hoặc hậu tố, để tự ấn định thứ tự thực hiện. Bất kỳ tập hợp đối tượng nào mà trên đó có thể thực hiện tất cả bốn phép tính số học (trừ phép chia cho 0) và trong đó bốn phép toán này tuân theo các luật thông thường (bao gồm cả phân phối), được gọi là trường.[12]

Phép cộng

Phép cộng, được biểu thị bằng ký hiệu + {\displaystyle +} , là một phép toán cơ bản nhất của số học. Ở dạng đơn giản của nó, phép cộng kết hợp hai con số được gọi là các số hạng, thành một số một số duy nhất, được gọi là tổng số (ví dụ như 2 + 2 = 4 hay 3 + 5 = 8).

Việc cộng hữu hạn số có thể được xem như một phép cộng đơn giản lặp đi lặp lại; thủ tục này được gọi là tính tổng, một thuật ngữ cũng được sử dụng để biểu thị định nghĩa cho "thêm vô số số" trong một chuỗi vô hạn. Thêm nhiều lần số   1 là hình thức đếm cơ bản nhất; kết quả của việc cộng thêm 1 thường được gọi là số tiếp theo của số ban đầu.

Phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp, vì vậy thứ tự mà các số hạng được thêm vào không quan trọng. Phần tử đơn vị cho một phép toán hai ngôi là số mà khi kết hợp với bất kỳ số nào, sẽ tạo ra cùng một số với kết quả. Theo quy tắc của phép cộng, thêm 0 vào bất kỳ số nào sẽ mang lại cùng một số đó, vì vậy 0 là đơn vị cộng.[13] Nghịch đảo của một số đối với phép toán hai ngôi là số mà khi kết hợp với bất kỳ số nào, sẽ tạo ra đơn vị đối với phép toán này. Vì vậy, nghịch đảo của một số đối với phép cộng (nghịch đảo cộng của nó, hoặc số đối) là số mà cho kết quả đơn vị cộng 0, khi được thêm vào số ban đầu; rõ ràng là đối với tất cả các số x {\displaystyle x} , đây là số đối của x {\displaystyle x} (biểu thị − x {\displaystyle -x} ).[13] Ví dụ, nghịch đảo cộng của 7 là −7, vì 7 + (−7) = 0.

Phép cộng cũng có thể được giải thích về mặt hình học, như trong ví dụ sau:

• Nếu chúng ta có hai que tính có độ dài là 2 và 5, thì nếu chúng ta đặt lần lượt các que tính cạnh nhau thì chiều dài của que tính trở thành 7, vì 2 + 5 = 7.

Phép trừ

Phép trừ, được biểu thị bằng ký hiệu − {\displaystyle -} , là phép toán nghịch đảo với phép cộng. Phép trừ cho thấy sự khác biệt giữa hai số, số trừ trừ đi số bị trừ: D = M - S. Dựa vào phép cộng đã thiết lập trước đó, điều này nói lên rằng sự khác biệt là số mà khi được thêm vào số bị trừ, kết quả là số trừ: D + S = M. [14]

Đối với các đối số dương, M và S thỏa mãn:

Trong mọi trường hợp, nếu số bị trừ và số trừ bằng nhau thì hiệu số D = 0.

Phép trừ không có tính chất giao hoán hay kết hợp. Vì lý do đó, việc xây dựng phép toán nghịch đảo này trong đại số hiện đại thường bị loại bỏ để đưa ra khái niệm phần tử nghịch đảo (như được phác thảo ở phần Phép cộng), với phép trừ được coi như thêm nghịch đảo của số bị trừ vào để trừ, có nghĩa là, a − b = a + (−b). Cái giá lập tức của việc vứt bỏ các phép trừ là sự ra đời của phép toán một ngôi, cho kết quả là nghịch đảo phép cộng cho bất kỳ số nào đó, và làm mất các khái niệm về sự khác biệt, dẫn đến khả năng gây nhầm lẫn khi lập luận về các số âm.

Đối với bất kỳ biểu diễn số nào, có các phương pháp tính toán kết quả, một số phương pháp đặc biệt thuận lợi trong việc khai thác các thủ tục, tồn tại cho một phép toán, bằng các thay đổi nhỏ cũng cho các phép khác. Ví dụ, máy tính kỹ thuật số có thể sử dụng lại mạch cộng hiện có và tiết kiệm các mạch bổ sung để thực hiện phép trừ, bằng cách sử dụng phương pháp của phần bù của hai để biểu diễn các phép cộng nghịch đảo, điều này cực kỳ dễ thực hiện trong phần cứng (phủ định). Sự đánh đổi là việc giảm một nửa phạm vi số cho một độ dài từ cố định.

Một phương pháp được áp dụng rộng rãi trước đây để tính được số tiền phải trả lại chính xác, khi biết số tiền phải trả và số tiền người khách đưa, là phương pháp đếm ngược, không tạo ra giá trị của sự khác biệt một cách rõ ràng. Giả sử một số tiền P được đưa ra để trả số tiền yêu cầu Q, với P lớn hơn Q. Thay vì thực hiện phép trừ P - Q = C một cách rõ ràng và đếm ra số tiền C để trả lại khách, tiền được đếm bắt đầu bằng số kế tiếp của Q và tiếp tục theo các bước của tiền tệ, cho đến khi đạt đến P. Mặc dù số tiền đếm ra phải bằng kết quả của phép trừ P - Q, phép trừ chưa bao giờ thực sự được thực hiện và giá trị của P - Q không được cung cấp bằng phương pháp này.

Phép nhân

Phép nhân, được biểu thị bằng các ký hiệu × {\displaystyle \times } hoặc là ⋅ {\displaystyle \cdot } ,[13] là phép toán cơ bản thứ hai của số học. Phép nhân cũng kết hợp hai số thành một số duy nhất là tích. Hai số ban đầu được gọi là số nhân, hầu hết cả hai đều được gọi đơn giản là thừa số.

Phép nhân có thể được xem như một phép toán tỷ lệ. Nếu các số được tưởng tượng như nằm trên một trục, nhân với một số lớn hơn 1, chẳng hạn x, cũng giống như kéo dài mọi thứ ra khỏi vị trí 0 một cách đồng nhất, theo cách mà số 1 được kéo dài đến vị trí x. Tương tự, nhân với một số nhỏ hơn 1 có thể được tưởng tượng như việc ép trục về phía 0, theo cách mà 1 được thu nhỏ đến vị trí x.

Một quan điểm khác về phép nhân các số nguyên (có thể mở rộng đến số hữu tỉ nhưng không dễ tiếp cận đối với các số thực) là coi nó như một phép cộng lặp lại. Ví dụ. 3 × 4 tương ứng với việc cộng 3 lần với 4 hoặc 4 lần với 3, cho cùng một kết quả. Có nhiều ý kiến khác nhau về lợi thế của các mô hình này trong giáo dục toán học.

Phép nhân có tính chất giao hoán và kết hợp; xa hơn, nó được phân phối trên cộng và trừ. Phần tử đơn vị của phép nhân là 1,[13] vì nhân bất kỳ số nào với 1 cho kết quả là chính nó. Nghịch đảo phép nhân cho bất kỳ số nào ngoại trừ 0 là nghịch đảo của số này, bởi vì nhân số nghịch đảo của bất kỳ số nào với chính số đó sẽ thu được phần tử đơn vị 1. 0 là số duy nhất không có phần tử nghịch đảo và kết quả của phép nhân bất kỳ số nào với 0 lại là 0. Có thể nói rằng số 0 không được chứa trong nhóm phép nhân của các số.

Tích của a và b được viết dưới dạng a × b hoặc a·b. Khi a hoặc b là các biểu thức không được viết đơn giản bằng các chữ số, nó cũng được viết bằng cách đặt cạnh nhau đơn giản: ab.[13] Trong các ngôn ngữ lập trình máy tính và các gói phần mềm (trong đó người ta chỉ có thể sử dụng các ký tự thường thấy trên bàn phím), nó thường được viết bằng dấu hoa thị:   a * b.

Các thuật toán thực hiện hoạt động của phép nhân đối với các biểu diễn số khác nhau tốn kém hơn nhiều so với các thuật toán cộng. Những thứ có thể truy cập để tính toán thủ công dựa vào việc chia nhỏ các yếu tố thành các giá trị vị trí duy nhất và áp dụng phép cộng lặp lại hoặc sử dụng bảng hoặc quy tắc loga, do đó ánh xạ phép nhân với phép cộng và ngược lại. Các phương pháp này đã lỗi thời và dần được thay thế bởi các thiết bị di động. Máy tính sử dụng các thuật toán phức tạp đa dạng và được tối ưu hóa cao, để thực hiện phép nhân và chia cho các định dạng số khác nhau được hỗ trợ trong hệ thống của chúng.

Phép chia

Phép chia, được biểu thị bằng các ký hiệu ÷ {\displaystyle \div } hoặc là / {\displaystyle /} ,[13] về cơ bản là phép toán nghịch đảo với phép nhân. Phép chia tìm thương của hai số, số bị chia chia cho số chia. Bất kỳ số bị chia nào chia cho 0 đều là không được xác định. Đối với các số dương phân biệt, nếu số bị chia lớn hơn số chia thì thương lớn hơn 1, nếu không thì thương nhỏ hơn 1 (quy tắc tương tự áp dụng cho số âm). Thương số nhân với số chia luôn thu được số bị chia.

Phép chia không có tính chất giao hoán hay kết hợp. Vì vậy, như đã giải thích ở phép trừ, việc xây dựng phép chia trong đại số hiện đại bị loại bỏ để tạo ra các phần tử nghịch đảo đối với phép nhân, như đã giới thiệu trong phép nhân. Do đó phép chia là phép nhân của số bị chia với nghịch đảo của số bị chia, nghĩa là a ÷ b = a × 1/b.

Trong các số tự nhiên, cũng có một khái niệm khác nhưng có liên quan được gọi là phép chia Euclide, cho ra hai số sau khi "chia" số tự nhiên N (tử số) cho số tự nhiên D (mẫu số): số đầu tiên là Q tự nhiên (thương số) và thứ hai là số tự nhiên R (phần dư) sao cho N = D×Q + R và 0 ≤ R < Q.